有限数学示例

$4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $9$ , $10$ , $12$ , $12$ , $14$ , $16$ , $17$ , $17$ , $19$

解题步骤 1

一组数的平均值为其总和除以其个数。

$\overline{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\overline{x} = \frac{9 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.2

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\overline{x} = \frac{15 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.3

将 $15$ 和 $7$ 相加。

$\overline{x} = \frac{22 + 8 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.4

将 $22$ 和 $8$ 相加。

$\overline{x} = \frac{30 + 9 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.5

将 $30$ 和 $9$ 相加。

$\overline{x} = \frac{39 + 9 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.6

将 $39$ 和 $9$ 相加。

$\overline{x} = \frac{48 + 10 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.7

将 $48$ 和 $10$ 相加。

$\overline{x} = \frac{58 + 12 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.8

将 $58$ 和 $12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{70 + 12 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.9

将 $70$ 和 $12$ 相加。

$\overline{x} = \frac{82 + 14 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.10

将 $82$ 和 $14$ 相加。

$\overline{x} = \frac{96 + 16 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.11

将 $96$ 和 $16$ 相加。

$\overline{x} = \frac{112 + 17 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.12

将 $112$ 和 $17$ 相加。

$\overline{x} = \frac{129 + 17 + 19}{15}$

解题步骤 2.13

将 $129$ 和 $17$ 相加。

$\overline{x} = \frac{146 + 19}{15}$

解题步骤 2.14

将 $146$ 和 $19$ 相加。

$\overline{x} = \frac{165}{15}$

解题步骤 3

用 $165$ 除以 $15$ 。

$\overline{x} = 11$

解题步骤 4

建立方差公式。数值集合的方差是对其数值分布范围的度量。

$s^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 5

对此数集建立方差公式。

$s = \frac{{(4 - 11)}^{2} + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6

化简结果。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

从 $4$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{{(- 7)}^{2} + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.2

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + {(5 - 11)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.3

从 $5$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + {(- 6)}^{2} + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.4

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + {(6 - 11)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.5

从 $6$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + {(- 5)}^{2} + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.6

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + {(7 - 11)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.7

从 $7$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + {(- 4)}^{2} + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.8

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + {(8 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.9

从 $8$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.10

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + {(9 - 11)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.11

从 $9$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.12

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + {(9 - 11)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.13

从 $9$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + {(- 2)}^{2} + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.14

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + {(10 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.15

从 $10$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.16

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + {(12 - 11)}^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.17

从 $12$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1^{2} + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.18

一的任意次幂都为一。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + {(12 - 11)}^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.19

从 $12$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.20

一的任意次幂都为一。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(14 - 11)}^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.21

从 $14$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 3^{2} + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.22

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + {(16 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.23

从 $16$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 5^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.24

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + {(17 - 11)}^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.25

从 $17$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 6^{2} + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.26

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + {(17 - 11)}^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.27

从 $17$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 6^{2} + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.28

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + {(19 - 11)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.29

从 $19$ 中减去 $11$ 。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 8^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.30

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.31

将 $49$ 和 $36$ 相加。

$s = \frac{85 + 25 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.32

将 $85$ 和 $25$ 相加。

$s = \frac{110 + 16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.33

将 $110$ 和 $16$ 相加。

$s = \frac{126 + 9 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.34

将 $126$ 和 $9$ 相加。

$s = \frac{135 + 4 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.35

将 $135$ 和 $4$ 相加。

$s = \frac{139 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.36

将 $139$ 和 $4$ 相加。

$s = \frac{143 + 1 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.37

将 $143$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{144 + 1 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.38

将 $144$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{145 + 1 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.39

将 $145$ 和 $1$ 相加。

$s = \frac{146 + 9 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.40

将 $146$ 和 $9$ 相加。

$s = \frac{155 + 25 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.41

将 $155$ 和 $25$ 相加。

$s = \frac{180 + 36 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.42

将 $180$ 和 $36$ 相加。

$s = \frac{216 + 36 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.43

将 $216$ 和 $36$ 相加。

$s = \frac{252 + 64}{15 - 1}$

解题步骤 6.1.44

将 $252$ 和 $64$ 相加。

$s = \frac{316}{15 - 1}$

解题步骤 6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

从 $15$ 中减去 $1$ 。

$s = \frac{316}{14}$

解题步骤 6.2.2

约去 $316$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $316$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \frac{2 (158)}{14}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \frac{2 \cdot 158}{2 \cdot 7}$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去公因数。

$s = \frac{2 \cdot 158}{2 \cdot 7}$

解题步骤 6.2.2.2.3

重写表达式。

$s = \frac{158}{7}$

解题步骤 7

求近似值。

$s^{2} \approx 22.5714$

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